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葛建全:走进数学 为陈省身猜想而努力
——记北京师范大学数学系教授葛建全

作者:杜月娇    发布时间:2019-11-25

导读:  青春阳光、勤勤恳恳、平易亲和,对科研、教学和人才培养充满激情和热爱——这是北京师范大学教授葛建全留给记者的第一印象。秋日的北京,记者走进他位于北京师范大学的办公室,听他讲述自己与数学的故事。

 

  “21世纪的数学的发展是很难预测的,它一定会超越20世纪,开辟出一片崭新的天地,希望中国未来的数学家能够成为开辟这片新天地的先锋。”
  ——数学大师 陈省身  
  
  青春阳光、勤勤恳恳、平易亲和,对科研、教学和人才培养充满激情和热爱——这是北京师范大学教授葛建全留给记者的第一印象。秋日的北京,记者走进他位于北京师范大学的办公室,听他讲述自己与数学的故事。
  今年37岁的他,是北京师范大学的教授,也是我国80后科研工作者的优秀代表。科研就像一场马拉松,唯有初心不忘才能静待花开,而他的状态刚刚好。于科研坚守中破解世界数学难题,于传道授业中传递数学之美,他在枯燥漫长的科研旅途中找寻属于自己的那一份怡然自得。
  
走进微分几何的神奇世界
  葛建全是典型的高智商“学霸”。来自农村的他在高考时,以超过北京大学录取线的优异成绩作为提前批,被中国科技大学录取。“当时中科大来我们那儿招生,我看到数学科学学院的介绍,是首批全国理科人才培养基地、中国科学院博士生重点培养基地,其前身也是由著名数学家华罗庚院士亲自创办,我觉得综合实力非常强。”
  来到这所因少年班而备受关注的校园,走进数学的神奇世界,葛建全总觉得自己离优秀还差着距离。于是,大学四年,他勤奋上进,取得计算机和数学的双学位。大三时,基础数学位列全系前三的他考虑到就业及前途发展,努力争取保研的资格。
  一切仿佛冥冥中注定。想在中国科学院攻读热门方向“金融数学”的他,却因统一面试时间延后而被迫改变;准备在清华大学和北京大学中择其一读研的他,因清华大学保研考试面试时间靠前而走进清华大学。而更深的缘分,则是他与自己的导师唐梓洲教授。“清华大学当时在国庆前进行面试考试,我就想着先来清华大学看看。一开始我联系的是周坚老师,他带着很多学生。正巧,唐老师手下没有学生,他表示愿意招一个,面试完,他就给我打电话了。我很高兴地答应了。”回忆起与恩师的第一次相见,葛建全依然记忆犹新。
  2004年,他有幸进入清华大学,投到清华大学数学科学系教授、博士生导师唐梓洲老师门下。自此,10多年飞逝而过,他依然追随恩师的脚步,来到北京师范大学从教,并在微分几何与拓扑学专业领域收获了科研的硕果。
  谈及自己这些年在微分几何方面的研究,他归纳为两个方面。其一是“DDVV猜想的解决及其推广和应用”。他告诉记者,“DDVV猜想”是1999年由4位几何学家共同提出的法数量曲率不等式猜想。这是子流形几何的研究重点,由子流形基本方程,可转化为代数版本,也称为实对称矩阵情形的DDVV不等式猜想。
  数学的研究可谓“条条大路通罗马”,不同的解答方法可以完美解答同一问题。2007年,两个几乎同时的、不同的独立证明产生了——陆志勤教授在美国,葛建全和导师唐梓洲在中国,分别取得了DDVV猜想的完整证明。其后葛建全对此类不等式作了多项推广和应用,例如,推广到反称矩阵,应用于黎曼浸没几何得到Simons型不等式。这一成果发表在Advance in Math.,“这把有关杨振宁—米尔斯场的能量间隙定理推广到黎曼浸没,揭示了对称矩阵与反称矩阵、子流形与黎曼浸没的对偶性,揭示了极小子流形与Yang-Mills场的对偶性。”最近,葛建全及其学生与陆志勤合作对DDVV不等式和另一类BW不等式进行统一推广,这将可能进一步应用于子流形几何中的陈省身问题或物理中的测不准原理。
  美国数学会Math.Reviews给予评论:“The work on the DDVV conjecture generated considerable interest”因关于DDVV不等式的系列研究,葛建全多次应邀在国内外会议作学术报告,同行在2008中美数学会联合会议,2012年复几何国际会议、积分几何国际会议、中国数学会年会上都看到了他自信的身影。        
  标准单位球面中等参理论起源自数学大师嘉当(E.Cartan),至2016年5月,标准单位球面中等参超曲面已被完全分类。葛建全的另一项研究成果聚焦于此——“等参理论在怪球和4维流形等方面的发展及应用”。这也同时是对一些数学猜想的有力佐证。“虽然没有完成大的猜想,但是这些做起来还是很有成就感的。”谈到这研究,他表示。
  数学猜想,或者就是人们称为的猜测、假设、问题等,不是一般的猜想或游戏。它是根据已知条件的数学原理对未知的量及其关系的似真推断,既有逻辑的成分,又含有非逻辑的成分,因此它具有一定的科学性和很大程度的假定性。这样的假定性命题是否正确,尚需通过验证和论证。
  葛建全和导师唐梓洲在Crelle杂志共同发表的文章中,叙述了他们首次对怪球上的等参理论的研究。至今未解的一个世界难题光滑庞加莱(Poincaré)猜想:4维球面没有怪球。“如果我们总能在拓扑球面上找到一个等参函数,就可以推理出4维球面没有怪球,从而证明光滑庞加莱猜想”。这是因为他们证明了:4维“怪球”上不存在等参函数。这一论断受到业界专家的高度肯定,该领域顶尖专家Miyaoka和Chi在多个场合介绍引用,被Cecil和Ryan,Berndt,Console和Olmos等人的著名专著中多次引用。
  为了让研究更深一步,葛建全和Radeschi研究了4维流形的奇异黎曼分层。等参是奇异黎曼分层的特殊情形,他们完全分类了带奇异黎曼分层的4维单连通闭流形和其上的等参分层。这样,4维“怪球”上不存在奇异黎曼分层的发现,实际推广了上述“关于光滑庞加莱猜想”的进展结果。4维单连通闭流形上的等参分层的完全分类,也是目前关于等参分类问题在固定维数时的最佳完整结果。另外,在下述意义下葛建全彻底解决了怪球中的等参分类问题,即他建立了怪球的等参分层与标准球的等参分层之间的一一对应;并深入研究标准球在一般度量下的等参分类问题,构造了许多新例子;应用等参理论得到球面中超曲面上的许多微分结构。2017年葛建全与导师唐梓洲及师妹彦文娇教授合作,把自己的两条研究主线——DDVV型不等式与等参理论结合起来,对等参焦流形的法数量曲率给了精致的估计,并对其中取到不等式等号的焦流形子集做了完整分类。上述相关成果都已发表在Math.Ann.、Advance in Math.和IMRN。2018年葛建全与导师唐梓洲合作,把等参理论应用于研究广义的Hilbert第17问题,完全解决了其在等参情形的非负多项式是否是多项式的平方和问题。
  葛建全在学术界声名鹊起,他因此应邀在2014年、2015年第10届、11届中日几何会议,2015年清华大学三亚青年几何分析国际论坛、2015年微分几何与微分方程国际会议、2018年子流形几何拓扑年会、2019年巴西微分几何国际会议、2019年几何分析年会、2019年现代几何潮流国际会议等国内外大型学术会议上报告了这些等参理论相关的研究成果。
  虽然数学猜想的结论不一定正确,但作为一种创造性的思维活动,这是科学发现的一种重要方法。在这条孤寂的路上,无数数学家乐此不疲。
  
用数学的研究发现世界
  数学不同于其他科学,范围大、难题多。有人把数学比喻为一棵树,树上有很多分枝,就像代数、几何等不同的学科。葛建全的研究领域是微分几何,再往下细分就是“子流形的几何与拓扑”方向。
  微分几何学主要研究流形的几何拓扑性质。其中,黎曼流形最重要的内蕴几何量就是其各种曲率,研究这些曲率对流形拓扑的限制是微分几何的重点研究领域。葛建全说:“Hopf两个著名的猜想就是关于截面曲率对拓扑的限制这方面。”与此同时,子流形几何是微分几何的重要部分,其中几何学家们研究更多的是一些特殊黎曼流形的特殊子流形,比如,单位球面。他特别提到,等参超曲面是单位球面中仅有的常数量曲率极小超曲面的例子,而这就是著名的陈省身猜想所断言的。至今为止,许许多多的几何学家致力于证明这个猜想,包括彭家贵、唐梓洲等都对此问题做出部分进展,但目前仍远未解决。
  另外,等参超曲面可以通过等参函数的概念定义在一般黎曼流形上。在这个意义上,单位球面中的等参理论及其研究方法已经取得了成功的发展并获得广泛应用。因而,近几年来,研究一般流形上的等参理论及其应用开始被人们所关注。
  找准方向就该锲而不舍地研究下去。2019年9月,葛建全作为项目负责人,成功申报了北京市自然科学基金重点研究专项“子流形与亚历山大空间的几何与拓扑”。他表示,在随后的4年里,北京师范大学、首都师范大学和清华大学几何领域的教授们将携手开展这一分支领域的研究。
  在他看来,流形的几何和拓扑是微分几何的核心,而子流形与亚历山大空间的几何与拓扑恰是基于著名数学家嘉当(几何)和庞加莱猜想(拓扑)的背景下。另外,“数学王子”高斯、诺奖获得者纳什、国际数学联盟主席Hopf、“数学怪才”Perelman、数学大师陈省身等都投身于这一方向。
  沿着科研的思路,葛建全将这一项目分为两个课题展开研究。其一是等参子流形的分类问题及其应用,其二是曲率有下界流形和Alexandrov空间的几何拓扑。对每个课题想解决的问题,他都了然于心。他告诉记者:“在第一个课题中,他们想解决3个问题:第一个是球面中等参分层结构在一般度量下的分类问题,第二个是等参函数方程的可解性问题,第三个是等参理论的深入研究及其推广和应用。而对于第二个课题,同样需要解决两大难题,第一要研究Ricci曲率有下界流形的塌缩结构,第二要研究Alexandrov几何中灵魂猜想的高维情形。”
  两个课题都是围绕流形的几何拓扑这一总体研究方向,课题一通过研究等参理论及其应用来实现,课题二通过研究Ricci曲率有下界流形的体积熵和基本群及其塌缩现象和Alexandrov几何版本的Sole猜想来展开。在葛建全看来,部分内容有交叉应用,比如,课题一中的等参理论可以用来研究课题二中Sole猜想的紧致版本Grove猜想,两个课题都需要用到几何分析的一些方法,如几何流等。他表示:“这3所学校的数学都是国家双一流学科,定期开展讨论进行合作研究并在组织年度会议交流课题进展是不会少的。最近,在北京大学田刚院士和首都师范大学方复全院士倡议下,4所高校定期(每两个月)举办联合讨论班系列会议。”
  提及项目组的各位老师,葛建全更是胸有成竹。他介绍说,课题一有北京师范大学在等参理论方面专长的两位教授参加,他们都是国家优青。还有两位在微分拓扑、几何流与代数几何方面专长的讲师以及几何流方面的清华大学的长聘副教授。课题二有北京师范大学亚历山大几何专长的教授们和首都师范大学“千人计划”戎小春等教授。团队成员互相熟悉了解并曾多次合作,知识结构互补性很强,这样可以在主要研究领域中亲密合作,形成合力。
  这个项目涉及微分几何、微分拓扑、几何分析、度量几何与代数几何,在各团队成员之前研究的基础上,这一项目不但需要将度量几何中的成熟工具和Ricci流等几何分析里的技术相结合,还需要发展新的想法和工具。对未来的工作,葛建全充满信心。
  
用数学的思维教学生
  老师是知识的传递者,同时也是师德师风的传承者。葛建全的科研之路曾得到博士生导师唐梓洲教授的提携和栽培,生活中也曾得到恩师的百般照顾和呵护。对此,葛建全的点滴感激之情溢于言表。导师的一言一行也因此影响到了他人生中的重大抉择。“在清华大学读研究生时,第二年唐老师就离开清华大学去北京师范大学了。当时,学校老师找我谈话,告诉我可以换导师转方向,我都没想过,只想着都在北京,大不了两个地方跑。”包括在博士毕业就业选择时,他都二话没说就跟随导师选择了到北京师范大学任教。“我觉得可能是我个人比较执着,有些传统,俗称的执拗吧。”
  三尺讲台育桃李,葛建全将恩师对自己的好,潜移默化地传承了下去。对自己的学生,他费尽心血。近些年来,他培养大学生创新研究计划(国家级、北京市级和校级)9个团队,含2个优秀项目,并合作2篇文章(已发表1篇SCI);担任近20位大学新生的新生导师,指导7位研究生(含2位博士生),连续教授研究生学位基础课《微分几何》,获得北京师范大学研究生优质课程2015年优秀奖和2018年特等奖。回想起自己的教学经历,他提到,自己从大二开始,为了减轻家庭的经济负担开始勤工俭学,研究生时也常常作为助教来教课,教学方面还是积累了一些经验。不仅教学,他还曾担任数学学院研究生年级辅导员,并因此获得2011年北京师范大学“优秀辅导员”称号。
  在外人看来,数学是枯燥而不能得到及时应用的,特别是基础数学。他特别谈到数学的兴趣和作用。“很多学生在学习的过程中未必能坚持下来,如果坚持不下来,在研究中就不可能有突破。这一情况下,我一般会劝他们转方向,像如今数学交叉新兴领域非常多,会更适合个人的发展。”
  在他的课堂,授课主要以启发引导为主,着重培养学生的数学思维和视野,强调学习过程中的“自知之明”,强调主动、“自学”的重要性。他也会从数学大问题中分解一些小问题给学生来做,激发他们的数学思维和灵感。这种做法在培养学生中取得了很好的效果,多篇学生与他合作共同发表的成果文章发表在国际刊物上。
  培根说,数学是开启科学大门的钥匙。基础数学研究在此时此刻无用,但是50年、100年后,谁也无法预测它的作用。基础学科的核心优越感也正在这里——很多时候,技术应用不过是它的副产品而已。非欧几何的创始人之一、俄国数学家罗巴切夫斯基曾说:“没有哪个数学分支有一天会不被用于解决现实世界的问题,不管它是多么抽象。”在当时非欧几何还只是抽象的数学游戏,后来却被爱因斯坦用在了广义相对论,罗巴切夫斯基的预言至少在他开创的领域应验了。当初,纯之又纯的数论,在密码学中获得应用;欧氏几何在2000年前备受质疑,认为欧氏几何的作用就是丈量土地,后来被证实如果没有欧氏几何,微积分不可能诞生。葛建全告诉记者,很多我们所熟知的科学发现都是数学家们创造的。
  他给自己定的近期目标是,培养本科生钻研微分几何的兴趣,指导本科生完成大学生科研项目;培养研究生在微分几何领域扎实的研究基础,指导7~10名研究生,努力完成科研项目的研究,完成1篇以上国际顶尖杂志文章;积极学术交流,访问美国伯克利、普林斯顿高等研究所等顶尖研究机构开展合作;组织微分几何青年论坛、等参理论国际会议、北京几何分析天等学术会议,切实发挥学科交叉重点项目的优势作用,促进数学学科的发展。
  数学的重大发现也许就是某一时刻的“灵光乍现”,而等待这一时刻却是要花费在数学上的勤奋努力和锲而不舍,终其一生。不忘初心,脚踏实地,向着既定的目标进发,在对数学本质的无尽探索中,葛建全正和一群投身数学研究的科研工作者,沉浸其中,感受数学的永恒之美。科
  
专家简介:
  葛建全,北京师范大学数学系教授,研究领域为微分几何,在子流形的几何与拓扑方面颇有建树。本科毕业于中国科技大学数学系,在清华大学数学系获得博士学位。2011年获得中国数学会钟家庆数学奖,2012年至2014年获德国洪堡基金资助访问德国。曾主持国家自然科学青年科学基金、教育部高校博士点青年基金,是教育部创新团队主要成员,也是国家自然科学基金重点项目主要成员。2015年获国家自然科学基金优秀青年基金,2016年入选教育部长江学者奖励计划青年学者项目,2019年主持北京市自然科学基金重点研究专题项目。
  至今,在Advances in Math.、J.Reine Angew.Math.、Math.Ann.等国际著名数学期刊上接收发表了22篇论文,应邀在多届中日几何会议、子流形几何拓扑年会、几何分析年会、德国科隆大学、澳大利亚悉尼大学、巴西里约热内卢州联邦大学等场合作过30多次学术报告,相关论文被美国数学会Math.Reviews收录总被引用168篇次,被相关领域的国际顶尖专家,如日本的R.Miyaoka、美国的T.Cecil、Q.S.Chi和Z.Lu等在多篇文章和报告讲座中提及和引用。另外,他多次为著名SCI杂志审稿,为美国数学会Math.Reviews、德国《数学文摘》撰写评论。
  
  

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