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求索数学之道
——记南京大学数学系教授宗润弘

作者:杜月娇    发布时间:2020-07-21

导读:  在很多人的印象当中,数学家的工作场景就是每天埋头在草纸堆里演算,枯燥且乏味。但对于数学研究者来说,数字以及几何模型背后所隐藏的是无穷的科学奥秘以及鲜有人发现的“美”。在21世纪各类高新技术科学发展的大背景下,代数几何学研究领域也并没有被现代科学潮流所淹没,且有越来越多的科研人选择投身其中,南京大学数学系宗润弘教授就是其中之一。   

 

  著名的物理学家、数学家牛顿曾说过:“我不知道,世上人会怎样看我;不过,我自己觉得,我只像一个在海滨玩耍的孩子,一会捡起块比较光滑的卵石,一会儿找到个美丽的贝壳;而在我前面,真理的大海还完全没有发现。”宗润弘的科研世界里也是这样一番情景。从事科研以来,他对数学真理的探索从未止息。
  在现代数学众多的分支学科中,代数几何是一门非常重要又特别的基础学科,它与数学中其他分支学科有着广泛的联系,并且被深刻地应用到理论物理及其他的科学技术中,而在大多数20世纪现代数学重大进步的背后,或多或少都有代数几何的身影。
  在很多人的印象当中,数学家的工作场景就是每天埋头在草纸堆里演算,枯燥且乏味。但对于数学研究者来说,数字以及几何模型背后所隐藏的是无穷的科学奥秘以及鲜有人发现的“美”。在21世纪各类高新技术科学发展的大背景下,代数几何学研究领域也并没有被现代科学潮流所淹没,且有越来越多的科研人选择投身其中,南京大学数学系宗润弘教授就是其中之一。与代数几何领域结缘以来,他在代数几何的主要分支领域——双有理几何或极小模型纲领中不断探索,在穷极数理研究中,实现着思维的蜕变,实现着一次又一次的科研突破。
  
走进代数几何世界
  中国宋明时代理学家有“格物致知、穷理明辨”的说法,Physics(物理学)最初被翻译成“格致”便是由此而来。高中时期,宗润弘就对物理这一“格万物而致穷理”的学科产生了极大兴趣。2006年,宗润弘考入中国科学技术大学。但因为高考分数的客观因素,他不得不放弃当年竞争激烈的物理专业,正式步入了电子学专业开始学习。
  俗话说:“数理不分家。”也许是冥冥中缘分使然,大学一年级期间,宗润弘在偶然旁听数学系的拓扑学课程时,被授课老师发现其极大的数学天赋,并建议其转入数学系,进行今后的深度研究。再三考虑之后,宗润弘接受了这一提议,并顺利转入了中国科学技术大学数学系,从此开启了在代数几何领域的研究之旅。
  代数几何是一门古老的学科,其中所蕴含的代数推理一般都比较精巧,而其研究对象又具有几何的直观,深入到这一学科之中,宗润弘对这一领域的研究兴趣也越来越深。整个本科期间,宗润弘系统学习了代数几何这一领域相关的知识,本科毕业之后,他顺利被导师推荐到普林斯顿大学从事代数几何研究,踏上了国外的漫漫求学之路。
  代数几何领域于2010年左右在我国掀起了研究高潮,当时国内涌现了约10位左右的青年数学研究者,做出了一系列优秀的科研成果。而那时,正是宗润弘即将前往国外攻读博士的时期,这一学科在新时期的研究趋势与背景,也在潜移默化中激发了他走向更大的平台,深耕更深奥的代数几何领域问题的决心。
  从2010年—2019年,在国外9年时间,宗润弘先后在美国普林斯顿大学、美国普林斯顿高等研究院以及德国美因茨大学等学术机构中进行科学研究。在国外21世纪掀起的金融风潮中,他不仅没有丢失自己的科研初心,还投身于自己真正感兴趣的代数几何领域的科研问题中,孜孜不倦求索,从未放弃。
  
深入极小模型纲领研究
  数学是无穷的科学。在宗润弘眼中,代数几何领域所存在的诸多问题,都对他有着极大的吸引力。多年来,他就将研究扎根在纯粹数学中代数几何方向的理论研究中,特别是在作为代数几何的几个主要分支领域之一的双有理几何或极小模型纲领中,与相关研究者合作,实现了诸多科研创新突破。
  20世纪80年代,双有理几何中最核心的纲领——极小模型纲领,是数学界里一个活跃的研究方向,1990年,日本数学家森重文因其在此领域的研究成果,获得了国际数学界最高奖菲尔兹奖。遗憾的是,此后10年间,这个领域的研究略微有些沉寂。直到2000年后,数学家们才取得重大进展。
  零特征的代数闭域上的极小模型纲领,是极小模型纲领的一个基本思想。在这一思想的指导下,人们普遍猜测任何一个定义在代数闭域上的不可化归为有理连通代数簇的纤维化的代数簇都可双有理等价于一个极小模型代数簇。对于代数闭域的特征为零的情形,在双有理几何或极小模型纲领中已经有了由Prof. Birka、Prof. Cascini、Prof. Hacon以及Prof. Mckernan所证明的如下著名结论:对于一个射影的奇异性为Kawamata Log Terminal的对数偶(Log Pair)(X, D),如果其边界除子D是Big的且其对数标准从KX+D是Pseudo-Effective的,则KX+D一定有一个奇异性为Log Terminal的模型。这项结论可以蕴含零特征代数闭域上属于General Type的代数簇或者属于Log General Type的对数偶的极小模型的存在性。
  虽然已经有了如上著名结果,但在零特征的代数闭域上的极小模型纲领中还有很多基本和重要问题尚未解决。比如,双有理几何或极小模型纲领的著名专家Prof. Shokurov曾提出如下猜想:给定一种来自镜像对称的零特征的代数闭域上的对数偶(X,D)的复杂度和绝对复杂度的定义(此种定义主要来自对边界除子D的在数量等价下的有效分解的分析),则当此对数偶(X,D)的奇异性为Log Canonical且其复杂度小于1时,代数簇X一定是一个Toric代数簇,而当此奇异性为Log Canonical的对数偶(X,D)的绝对复杂度小于2时,代数簇X一定是几何有理代数簇。运用零特征的代数闭域上的极小模型纲领的标准技术,以及一些关于对数偶上的锥的奇异性与对数偶的几何特性之关系的特殊观察及技巧,宗润弘与团队合作一起完全解决了如上由Prof. Shokurov提出的猜想。
  目前,这项成果已经被他们在多场学术会议及多所高校及其他学术研究机构的研讨班中予以报告,并且广受与会者及听众好评,有关的一篇论文“A Geometric Characterisation of Toric Varieties”已经被Duke Mathematical Journal发表。
  
有理连通代数簇的性质探索
  所有科学都来自人们对有趣的、非常规道路的发掘,代数几何领域也是如此。术语“簇”取自拉丁语族中词源的概念,有基于“同源”而“变形”之意。代数几何学上,代数簇是多项式集合的公共零点解的集合,是经典(某种程度上也是现代)代数几何的中心研究对象,而这一研究对象对于扎根在代数几何领域的宗润弘来说有着极大的探索空间。在兴趣的驱使下,他不断深入有理连通代数簇研究中,试图通过研究解析其中所蕴藏的几何、拓扑与算术性质奥秘。
  根据双有理几何或极小模型纲领对定义在代数闭域上的代数簇的双有理分类的基本思路,有理连通代数簇是有理曲线或有理曲面在高维数的自然推广,并且是高维代数簇的基本构成部分之一。
  从几何和拓扑的直观上看,有理连通代数簇是有足够多有理曲线的代数簇。基于此种直观,在有理连通代数簇的几何和拓扑性质方面,代数几何的著名专家Prof. Iskovski曾提出如下问题:对于一个定义在复数域上的射影且光滑的高维Fano代数簇(注:一种最具代表性的有理连通代数簇),是否其上的所有一维代数闭链都拓扑同调等价于一些整系数的有理曲线之和。而代数几何的著名专家Prof. Totaro也曾提出如下问题:对于一个定义在复数域上的射影且光滑的三维有理连通代数簇,是否其上的所有(2,2)型的整系数Hodge类都拓扑等价于一些整系数的有理曲线之和?
  在这一背景之下,宗润弘及其团队通过运用一种对形变理论的新颖应用,特别地推广有理连通代数簇上的Smoothing of Comb技术及对于稳定曲线及有关的稳定映射的模空间之间的遗忘映射之几何性质的观察,宗润弘和合作者一起证明了:对于一个定义在代数闭域上的恰当且光滑的可分有理连通代数簇,其上的所有一维代数闭链都有理等价于一些整系数的有理曲线之和。特别的是,此结论以一种更强的形式解决了如上由Prof. Iskovski提出的问题,同时结合代数几何的著名专家Prof. Voisin之前的结论,也解决了如上由Prof. Totaro提出的问题。进一步地,对于一个由Prof. Voisin及代数几何的著名专家Prof. Kollár提出的可作为如上Prof. Tataro提出的问题之高维推广的一个更加一般的问题,结合Prof. Voisin的一个之前的结论,宗润弘及其合作者的上述结论也可将其划归到有限域上的代数曲面的Tate猜想。目前,与此成果有关的一篇论文“One Cycles on Rationally Connected Varieties”已经被Composition Mathematical发表。
  作为数域上的有理代数簇总有足够多有理点的算术性质的自然类比,在与有理连通代数簇相关的算术性质方面,代数几何的著名专家Prof. Hassett和Prof. Tschinkel曾提出如下弱逼近猜想:考虑一个定义在复数域上的有理连通代数簇的族,其中底空间为一个射影且光滑的代数曲线,则此族的Generic Fiber作为一个定义在底空间曲线的函数域上的代数簇一定满足弱逼近性质,亦即其有理点的集合在其函数域的Adele环的整点集上是稠密的。
  在这一现状下,宗润弘及其合作者通过进一步发展和应用,在上一个关于有理连通代数簇的几何与拓扑性质的工作中的方法和技术,首先解决了如下一个由代数几何的著名专家Prof. Starr提出的问题:对于一个定义在代数闭域上的恰当且光滑的可分有理连通代数簇,若其上有一个其阶数在定义域上可除的有限循环群的非平凡作用,则此代数簇上的任何两个在此群作用下的不动点都可被一条在此群作用下协变(Equivariant)的有理曲线所连接。
  基于对此结论的应用,宗润弘和合作者对一大类具有一般性的情形验证了上述由Prof. Hassett和Prof. Tschinkel提出的弱逼近猜想:特别地,他们证明了上述弱逼近猜想中的有理连通代数簇的族在具有Potentially Good Reduction的Place处均满足弱逼近性质,特别地,上述弱逼近猜想对所有满足Iso-Trivial性质的族均成立。此结论包含了几乎全部之前已知的对上述弱逼近猜想所满足的特殊情形,并且可以蕴含上述弱逼近猜想对于一种由Prof. Hassett提出的被认为特别困难的一种三次曲面的情形成立。与此成果有关的一篇论文“Weak Approximation of Iso-Trivial Families”已经被J.Reine Angew. Math. (Crelle’s Journal)发表。
  
突破领域限制的自主创新
  法国著名的数学家、物理学家拉格朗日曾说过:“只要代数和几何沿着各自的途径去发展,它们的进展将是缓慢的,他们的应用也是很有限的。但是,当这两门学科结成伴侣,它们都将从对方身上获得新鲜的活力,因此,以快速的步伐猛进,趋于完美。”在宗润弘看来,不管是现在还是未来,代数几何领域都存在很多未解谜题等待着科学家们深入探索,未来,这一领域研究仍然会是数学领域的主流所在。
  在他的介绍下,记者了解到:除却代数几何本身是一门很有意义的学科,其应用意义也是不容忽视的。虽然代数几何学科最初很难有直接的应用,但是纯粹数学的应用价值一旦被发现,就会有非常大的基础性突破,并且有深远的应用价值影响。
  创新是数学的灵魂。虽然,近些年来我国代数几何领域的研究发展迅速,但其发展的瓶颈在于还没有真正具有引领性的原创成果出现。在未来,宗润弘也希望能够与中国在代数几何领域的科学家们一起探索前行,致力于开创更多具有独创性及引领性的科研成果,在国际代数几何领域发出属于中国科学家的声音。
  要成为数学强国,对年轻人才的培养尤为重要,数学家的思维活动往往都是在很年轻的时候非常活跃。一路走来,宗润弘遇到了很多良师益友,他的本科以及博士生导师、博士期间的学长,都对其的研究之路的引领与成长有着极大的帮助。如今,作为一名大学教师,宗润弘也希望自己的学生在具有扎实科研根基的基础上,不受思维所限,发挥主观能动性,做出更多原创性的科研创新成果。
  自由思考、厚积薄发,一直是宗润弘喜欢的学术氛围,他所追求的不是多发表文章,而是能攀登科学高峰,对人类文明做出贡献。多年来,他对于代数几何领域的热爱之情历久弥坚。未来,他还将继续扎根在代数几何领域,把对学术的热爱内化到一丝不苟的学习和实践中,不懈耕耘,求索数学之道。
  

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