——访兰州大学郭锂教授

本刊记者　祝传海

　　有人说，代数枯燥乏味，可对他来说，却是兴趣所在；有人说，代数领域是抽象的空中楼阁，可对他来说，却是广泛应用的源泉；有人说，代数研究难有创见，而他却以扎实付出赢得诸多建树。他就是现任兰州大学郭锂教授。
　　兰州大学数学与统计学院成立于2004年，其前身分别为兰州大学数学系和兰州大学数学力学系。兰州大学数学力学系成立于1946年，至今有60多年的历史。在60年的办学过程中，兰州大学数学与统计学院承继了中国悠久的文化学术源流。在新的世纪，他们将继续弘扬传统，深化改革，与时俱进，开拓创新，为了兰大的传承，老一辈教育家期盼后人已经盼得望眼欲穿。于是，像郭锂这样年轻一辈回来了，2011年，受聘于兰州大学数学与统计学院，致力于代数、数论和几何等方面的研究，带动学科建设和人才培养工作，并希望由此带出一批优秀的研究生，培养一支优秀的青年教师队伍。
　　
代数应用　开疆拓土
　　
　　“我一直对代数比较感兴趣。”正是在兴趣的指引下，郭锂与代数及其应用结下了深厚的情感，他有关代数数论的文章被怀尔斯（Wiles）有关费马大定理的伟大工作所引用。此后，他们还把怀尔斯的“主猜想”推广到高权模形式，并证明其伴随motive的Tamagawa数猜想。更值得一提的是，近十年来，郭锂教授与合作者有关罗巴（Rota-Baxter）代数的基础理论工作和在量子场论、数论、杨—巴克斯特方程及组合等方面的应用导致该领域的复兴。美国数学会特约郭锂教授撰写的专栏文章的发表，不仅说明罗巴代数和在此专栏介绍的其他领域一样，已成为公认的新兴学科，也认同了郭锂在罗巴代数领域的领军地位。此外，由郭锂教授撰写的此领域的第一部专著已被我国高教出版社和美国国际出版社出版。
　　多年来，他的研究领域涉及从数论到量子场论，这些研究如同点点繁星，在数学的天空绽放璀璨的光芒。
　　——椭圆曲线和费马大定理。代数数论和算术代数几何的核心问题是理解数论中解析函数的代数含义。这类问题从Dirichlet的类数公式开始，以千禧年问题之一的椭圆曲线的Birch-Swinnerton-Dyer（BSD）猜想最为有名。少为人知的是怀尔斯（Wiles）解决费马大定理的伟大工作也归结到这样一个问题。这使他花了很长时间，才最终和泰勒一起解决。也正是在这里，怀尔斯引用了郭锂的文章。
　　“更准确地讲，怀尔斯需要的是对椭圆曲线对称平方的‘类数公式’，而我的文章已考虑了这一‘类数公式’在椭圆曲线有复乘时的特例。我用的是经典Iwasawa理论，对一般情形不适用。为此怀尔斯引进了新的方法。”郭锂教授介绍道。
　　——模形式和Tamagawa数猜想。 从上世纪60年代开始，经过几代数学家的努力，极其广泛而精确的“类数公式”以motive的Tamagawa数猜想的形式确定下来，但只有很少几种情形得到证明。郭锂同Diamond和Flach一起将怀尔斯的方法推广到高权模形式的对称平方，利用Faltings（1986年菲尔兹奖）有关晶体上同调的工作构造了它们的motive，最终证明了它们的Tamagawa数猜想。
　　——交换罗巴代数理论。罗巴代数理论起源于美国数学家G.巴克斯特于1960年的概率论研究。在之后的十几年中，著名数学家罗塔（Rota）和Cartier将罗巴代数用于组合理论。而罗巴李代数与以物理学家杨振宁和R.巴克斯特命名的杨—巴克斯特方程紧密相关。2000年前后，几方面的工作导致罗巴代数的复兴。而郭锂与合作者的工作在其中发挥了重要作用。他们在2000—2001年的三篇Adv Math文章将自由交换罗巴代数以混合洗牌代数的方式构造出来。这一构造不仅促进了罗巴代数的理论研究，如完备化、零因子和链条件，而且使罗巴代数得以应用于洗牌代数相关的广泛领域，包括Hopf代数、组合和umbral分析。这一洗牌代数构造的更重要的应用是对于多变元zeta函数值（MZV）。
　　—— Connes-Kreimer量子场论重整化理论的罗巴代数表述和推广。重整化是量子场论的基石。郭锂与Kreimer等人合作，对罗巴代数所起的作用进行了系统深入的研究。他们发现，整个重整化过程，包括PBHZ公式和Birkhoff分解，都可以由罗巴代数中Spitzer等式和Atkingson分解的适当推广给出，从而将量子场论重整化和概率论随机扰动罗巴代数化这两个看似相互无关，但在同一时期发展起来的理论等同起来，而且将Connes-Kreimer的工作从维数正规化+极小减法的重整化过程推广到其他（比如切除）重整化过程。其进一步的推广工作，不仅包括经典的Magnus Omega 展式，还包括近年来发现的顶点代数的分解定理，组合Hopf代数的正负分解，及数值微分方程中李代数极分解。Connes-Kreimer理论与罗巴代数联系的更深远的意义是把重整化这一物理方法引入数学。一方面加深对这一物理方法的数学研究，一方面用这一物理方法来处理数学中通过传统数学方法无法处理的发散问题，如发散MZV。
　　——多变元zeta函数值（MZV）及其重整化。多变元zeta函数是黎曼zeta函数的自然推广。在二变元情况已被欧拉和哥德巴赫研究。多变元的研究始于上世纪九十年代初，由数论学家Zagier，组合学家Hoffman和物理学家Broadhurst与Kreimer几乎同时发起。MZV的重要性基于它们给出数论中所有周期的猜想和它们给出大部分菲曼积分值的计算结果。其研究涉及数论的各个方面。郭锂与合作者的研究重点是MZV的双洗牌性质，并借用量子场论的重整化方法，不仅定义了MZV在非正变元处的值，而且证明了这些值的拟洗牌关系。这是重整化方法在纯数学中的第一次应用。
　　——Operads和代数分析。Aguiar等发现，从罗巴代数可导出由Loday定义的叶形代数。这与从结合代数导出李代数的过程类似。因此需要研究类似的伴随函子，包络代数和PBW基定理。这也要求我们构造自由（非交换）罗巴代数。郭锂与合作者研究了这些课题，给出了不同类型的以树、路径和括号字给出的自由构造，并与量子场论中出现的根树联系起来。同时，为建立与微分的联系，他们还引进了微分罗巴代数和积分微分代数的概念，进行微积分和微分方程边值问题的代数研究。
　　——经典杨—巴克斯特方程。经典杨—巴克斯特方程是要求李代数的二阶张量满足的一个三阶张量方程，它在可积系统中起着重要作用，也是量子杨—巴克斯特方程的经典极限。对自对偶李代数和反对称张量，经典杨—巴克斯特方程的（张量）解等同于李代数上的权零罗巴算子，叫做经典杨—巴克斯特方程的算子解。这巧妙地将两个不同的巴克斯特的数学工作联系了起来。这看似巧合的更深层含义自上世纪80年代后一直被探讨着。由此得出修改杨—巴克斯特方程和O-算子等概念，更被移植到结合代数的范畴。近年来，郭锂与合作者把由权零罗巴算子推广的O-算子进一步延拓到由权非零罗巴算子推广的权非零O-算子，得到O-算子和罗巴算子的共同推广。由此他们得到经典杨—巴克斯特方程等的更大一类解。应用于可积系统，他们把Lax对推广到非阿贝尔Lax对。这一推广还使得他们可以用近年出现的后李（PostLie）代数构造非阿贝尔Lax对。
　　
受聘兰大　肩负使命
　　
　　郭锂教授在接受记者采访时谈到，“兰州大学曾经是实力非常雄厚的一所学校。然而，由于学校地处西北部，近些年来人才流失严重，这是我想回母校服务的一个重要原因。毕业多年，常希望能为母校做点什么。因此，从回国至今，我的使命就是积极发展代数及相关学科，不仅要搞研究，还要培养研究生，培养青年教师队伍。”郭锂目标明确，并时刻严格要求自己做到更好。
　　据郭锂教授介绍，兰州大学的代数学研究的崛起始于从上世纪70年代郭聿琦教授开创的半群与形式语言方向。现在以罗彦锋教授为学术带头人，形成了由多名青年教师、博士生和硕士生组成的学术团队，在半群代数理论及组合应用等方面做出了较好的成绩，显示出良好发展局面。近五年，主持2项国家自然科学基金和多项省部级基金资助的科研课题，发表学术论文40余篇，正呈现出良好的发展势头。
　　郭锂坦言，他看好国内数学研究的现状，并一直希望能够有所作为。近五年来，特别是回国以后，他以罗巴代数为纽带，将量子场论的重整化与概率论中Spitzer等式联系起来，用重整化方法处理数论中多元zeta函数的发散问题，进而研究罗巴代数与经典杨-巴克斯特方程的关系，亦取得诸多重要成果。郭锂教授在代数领域的科研已经渐入佳境。他告诉记者，未来，他将充分发挥自己在国外多年的工作经验，积极推动兰州大学在代数领域与国际顶尖学术机构与学者的联系，开展国际学术交流活动，为兰州大学代数领域的发展奠定良好基础。
　　
勇挑重担　创造未来
　　
　　面向未来，学科建设与人才培养是郭锂的第一任务。他说：“在当今知识经济时代，数学作为基础学科，是人类文化的重要组成部分，在形成人类理性思维的过程中发挥着独特的、不可替代的作用”。他的目标是未来的五至十年，能够通过科研与人才培养的结合，把现有方向扩展，利用罗巴代数这一交叉学科，将数论、代数组合、符号计算、代数分析等发展起来，建立三四个新的研究方向，不是仅仅跟着别人跑，要与国际研究接轨，产生一定的影响力。
　　其实，在应用科学发展突飞猛进的今天，能够扎根于基础研究并深入地钻研下去，着实不是易事。而郭锂教授不仅要做基础研究，还一直寄望能够做到更好，并在应用科学中有所作为。采访中，他告诉记者，按照国内的人才培养传统，在学术研究上，学生一般不会走出老师的圈子。但是，他希望利用自己在国外学习的经验，逐渐把这个圈子扩大。这样，一方面能够拓展学生和青年教师的视野，同时也能够让他们与国际上优秀的数学家建立良好的联系。可以说，郭锂最看重的，是更深层次的学科的发展。
　　“这样，就摆脱了我一个人带他们，而他们都依赖于我的状况。我希望未来，能够挑大梁的人才越多越好。即使离开了我，这些方向也不会垮掉，依然能够健康发展。”郭锂表示。
　　谈及创新与人才培养，郭锂与我们分享了自己多年的宝贵经验。正是凭着这些理念，他才影响和带动了一批数学领域的青年才俊。在他看来，创新意味着多层含义：一是创新要从学习开始，兴趣要广泛。学习代数，就只关心代数，是很难有创见的。代数，不光与数学有关系，甚至与艺术，文学都有关系。二是创新要大胆，要有一定的自由发挥。国内的学习与训练更多地强调逻辑，其实某种意义上在扼杀创新思维，大家往往引以为自豪的是，能够把一个定理的证明看清楚。实际上，伟大的数学家希尔伯特早就说过“数学中最重要的是问题”。要敢于突发奇想，要敢于去创造和发现。三是阅读文献也很重要。每天花上一部分时间，了解别人在做什么。不要认为有些概念我没看懂，那就没法继续看了，实际上并不是那样。通过不断阅读，就能够做一些横向联系，打开知识面，积累到一定程度就能够实现创新。还有一点就是执著，他说，灵感不是一下子出现的，都是需要靠积累的。一个成果得到问世，都需要学者集中一段时间，无论是几年，几个月，至少是几个星期，都要冥思苦想，不断投入才行，不是简简单单靠聪明智慧就能够成功的。当然，如果很聪明，又长期执著，那应该就离成功的数学家不远了。
　　除了思想上的影响，郭锂更在实际行动中影响和带动代数学科的发展。近年来，他每年都在兰州大学数学与统计学院作系列报告，主持讨论班，指导研究生论文。到目前为止，已就有关的课题开展了具体的研究工作，并取得了初步的成果。今后，他将继续与兰州大学教师开展合作研究，立足于形成这一方向包括资深教授、青年教师、博士生、硕士生及本科生的团队。同时，他还将利用自己与国内各院校以及与欧美各国的学术联系，通过高水平学术报告、国际会议和互访，加强兰州大学与国内、国际的学术交流。
　　“其实，学术交流的基础是你能够与国际顶尖的科学家对话，能够为彼此的合作带来贡献。所以，在开展交流之前，我们一直在努力提升自己的研究水平。仅仅是简单的访问报告，是无法建立起与国际领先学者的紧密联系的。”郭锂如是说。
　　既目标明确，又稳扎稳打，在与郭锂教授的交流中，他雷厉风行又勇往无前的精神始终贯穿其中，他对代数的痴迷和激情感染着周围的人。未来，他将与兰州大学代数学科及应用一起为我们带来不一样的精彩，为推动我国数学学科发展做出自己的贡献。
　　　　
专家简介：
　　郭锂，兰州大学数学与统计学院教授，祖籍广东，1960年出生于新疆北部矿区，以矿产之一锂命名。1977年考入兰州大学数学力学系,1982年赴武汉大学攻读代数专业硕士学位,毕业后赴美国西雅图华盛顿大学转读代数数论,1992年获博士学位。1992-1996年在俄亥俄州立大学、普林斯顿高等研究院和佐治亚州立大学做博士后研究。1996年至今在Rutgers大学数学与计算机科学系工作。曾在美国高等研究院（IAS）、法国巴黎高等科研院（IHES）、德国波恩麻普所（MPIM）、加拿大多伦多菲尔兹研究所工作。郭锂博士是罗巴（Rota-Baxter）代数及相关结构近年来进展的主要贡献者之一，学术论文发表在代数、数论、组合、理论物理、计算数学等领域的国际著名杂志上，并出版罗巴代数的第一本专著。