刘有婷  范德强

　　
　　
　　2006年12月22日，美国《科学》杂志评出了2006年十大科学进展，庞加莱猜想证明被列为首位。庞加莱猜想进入大众视野始于2000年的千禧年数学会议。在该会议上，数学家们选定了七个“千禧年大奖问题”。美国马萨诸塞州的克雷研究所将悬赏七百万美元奖金。每解决其中一个问题，就可以获得一百万美元的奖励。这七个问题分别是NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼假设、杨·米尔斯理论、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。
　　“庞加莱猜想是到目前为止唯一一个被解决的千禧年问题。”北京理工大学数学与统计学院教授邓宇星介绍。那一年，邓宇星刚刚参加完高考，这场数学界的狂欢也深深吸引了他的注意力。在庞加莱猜想的指引下，邓宇星登上了数学之舟，同无数前辈数学家一样，摇着科研的桨，驶向这片蕴藏无数未知奥秘的数学海洋。
　　
从庞加莱猜想到里奇流研究
　　庞加莱猜想由法国著名数学家亨利·庞加莱于1904年提出，这个猜想是说：任何单连通的三维闭维流形一定同胚于三维球面。更通俗地说，在一个封闭的三维空间中，如果任何封闭的曲线都能连续地收缩成一点，那么这个三维空间一定是一个三维球面。作为拓扑学中一个具有本质意义的猜测，庞加莱猜想叙述简单却证明困难。无数数学家在证明庞加莱猜想的道路上折戟沉沙。直到2006年，这条路已走了一百余年。
　　“佩雷尔曼证明庞加莱猜想的关键工具就是里奇流。”邓宇星说道。尽管庞加莱猜想最终的证明者是佩雷尔曼，但创造里奇流的却是另一位数学家理查德·汉密尔顿。“汉密尔顿于1982年引入里奇流分类了具有正里奇曲率的三维闭流形。”邓宇星介绍，里奇流是关于度量的抛物方程，是研究微分几何的重要工具。直观来说，对于一个给定的几何体，它在里奇流下会产生形变，在形变的过程中会产生奇点。“通过不断对奇点做手术，我们让它继续形变，最终演化成一个形状比较好的几何体。这也是用里奇流证明庞加莱猜想的思路。”
　　“里奇流对黎曼几何和复几何的研究都有重要意义。里奇流现在仍然是一个活跃的方向。”邓宇星介绍，里奇流可以用来研究四维流形的几何与拓扑（比如11/8猜想，四维光滑庞加莱猜想），研究丘成桐的一致化猜想和极小模型纲领等重要问题。
　　邓宇星选择做数学研究正是受到了庞加莱猜想的影响。“2006年高考完之后，刚好听到新闻说千禧年七大难题之一的庞加莱猜想被解决了。我比较好奇庞加莱猜想到底是什么？上网查了一些资料，虽然当时也看不懂，但就觉得挺有意思的，感觉数学是一门很有趣的学科。”邓宇星如是说道。
　　2006年，立志于考北京大学的邓宇星在高考时将数学考砸了。那年江西省是先估分填志愿后出高考成绩。对自己成绩没有信心的邓宇星在提前批次报了北京师范大学。结果他的分数比那年的北大线高一分。最终，邓宇星进入了北京师范大学数学科学学院。刚进大学时，邓宇星曾考虑过是否要转到物理系，因为在高考之前他还更偏爱物理。“在学了一年之后，我就感觉自己的思维更适合学数学。数学只需要假设整数系和加减乘除，在此基础上，每个概念都有严格的定义，每个定理都可以通过逻辑推导来证明。很多直观而深刻的定理也都能给出严格的证明，整个体系让我觉得很神奇、很有用。”邓宇星说。
　　2010年，邓宇星以优异的成绩被保送北京大学直接攻读博士学位，师从陈省身数学奖得主朱小华教授。入学后，朱小华教授建议邓宇星研究丘成桐的一致化猜测，即具有正的双全纯截面曲率的完备非紧凯勒流形一定全纯同胚于复欧式空间。
　　丘成桐的一致化猜测是复几何领域非常重要的猜测。这个猜测有40多年的历史。丘成桐、萧荫堂、莫毅明、施皖雄、谭联辉、朱熹平、倪磊、陈兵龙、刘钢等数学家都先后在该猜测中取得过重要进展。读博前几年，他对这一问题的研究一直没有太大进展。但幸运的是，他发现这期间学到的技巧却可以用来研究凯勒里奇孤立子。里奇孤立子分类是里奇流研究中的重要问题，利用这些技巧，邓宇星部分解决了Bennett Chow、吕鹏、倪磊所著的Hamilton’s Ricci flow（《汉密尔顿的里奇流》）书中关于扩散型里奇孤立子的猜测，终于完成了第一篇论文。
　　“2013年，Simon Brendle证明了三维佩雷尔曼关于稳态型里奇孤立子唯一性的猜测。这是在自然的条件下得到稳态型里奇孤立子完整分类的第一个结果。所以当时，稳态型里奇孤立子的分类也引起了很多人的关注，越来越多人开始研究这个方向。从2014年开始，我主要的精力开始转到研究里奇孤立子的分类问题上，特别是稳态型里奇孤立子的分类。”就这样，邓宇星调整了科研方向，并迅速迈入了“高速”轨道。
　　
向里奇孤立子发起挑战
　　自佩雷尔曼利用里奇流解决庞加莱猜想以来，如何利用里奇流解决更高维数的几何与拓扑问题成为里奇流领域的重要问题。而要理解里奇流的演化过程并对里奇流做手术，至关重要的一步是分析里奇流的奇性，也就是分类里奇流的奇点。
　　分类里奇流的奇点往往归结为分类这些奇点的自相似解。“里奇流之父”汉密尔顿将里奇流的奇点分为三大类，而这三类奇点的自相似解分别为：收缩型孤立子、稳态型孤立子和扩散型孤立子。如何分类这些里奇孤立子则成为里奇流研究中的关键问题。在佩雷尔曼解决三维庞加莱猜想的论文中，他提出了如下猜测：三维非平凡且体积非塌缩的稳态型里奇孤立子必然旋转对称，即必然是Bryant孤立子。2013年，Simon Brendle证明了这一猜测，他在截面曲率正和渐近柱状条件下将该结果推广到高维。他所引入的渐近柱条件包含曲率线性衰减和降维假设，但降维假设定义复杂。
　　“我们希望在更弱、更自然的条件下得到分类结果。”邓宇星如是说道。经过几年的研究，他们终于取得了重要进展。通过引入水平集流，他们得到了水平集的直径估计，从而能精确地描述稳态型里奇孤立子的渐近几何，并最终证明了高维曲率线性衰减、曲率算子非负的非塌缩非平凡的稳态型里奇孤立子唯一。当维数为4时，曲率算子非负可以弱化为截面曲率非负。不仅如此，他们还完全分类了曲率线性衰减的三维稳态型里奇孤立子。三维时不需要假设体积非塌缩条件。值得注意的是，三维时，曲率线性衰减条件严格弱于体积非塌缩条件。相关结果已经被Journal of the European Mathematical Society、International Mathematics Reseach Notices等著名数学杂志录用或发表。Journal of the European Mathematical Society杂志的两位审稿人对邓宇星等人的工作一致给予了高度评价，称“该论文中的结果是目前大于等于四维的稳态型里奇孤立子最好的分类结果”。
　　此外，邓宇星在稳态型凯勒里奇孤立子的刚性研究中取得了重要进展。在用凯勒里奇流研究丘成桐一致化猜测的过程中，经常会出现的一类奇点是双全纯截面曲率非负且体积非塌缩的稳态型凯勒里奇孤立子。“为了分类这类里奇孤立子，我们希望将三维佩雷尔曼猜测推广到凯勒情形。”为此，邓宇星考虑了下面的问题，也就是双全纯截面曲率正且体积非塌缩的稳态型凯勒里奇孤立子是否存在？而这个问题也是曹怀东猜测的重要情形，曹怀东猜测双全纯截面曲率正的稳态型凯勒里奇孤立子是唯一的。
　　“丘成桐先生的这个猜测是复几何最重要的猜测之一。曹怀东的猜测是里奇孤立子分类的重要猜测，对丘先生的猜测也有重要作用。20多年来，曹怀东的猜测几乎没有任何进展。我们的假设比之多了体积非塌缩条件，体积非塌缩是奇性分析中的自然条件。”最终，利用庞加莱整体坐标系，邓宇星找到了稳态型凯勒里奇孤立子上一列趋于无穷远的闭曲线，这列闭曲线的长度在适当的变换后会趋于零，从而证明了这类孤立子是塌缩的。这是凯勒流形上的稳态型里奇孤立子所具有的特殊性质。相关结果已经发表在Transactions of the American Mathematical Society、Mathematische Annalen等著名数学杂志上。Math Review上的评论表示：“邓宇星等人的结果是重要的。结果中的截面曲率正条件可以被双全纯截面曲率正替换，该结果也被邓宇星等人所证明。”
　　正里奇曲率拼挤的扩散型里奇孤立子的不存在性是邓宇星团队第三个重要成果。
　　2000年，朱熹平和陈兵龙证明了三维截面曲率有界、非负且里奇曲率一致拼挤的完备黎曼流形一定平坦。倪磊猜测高维也有类似的结果，同时倪磊还猜测只要求里奇曲率非负，比截面曲率非负要弱得多。为了用里奇流的办法解决倪磊的猜测，Bennett Chow、倪磊、吕鹏提出“n维正里奇曲率且里奇曲率一致拼挤的扩散型里奇孤立子不存在”的猜测。
　　基于上述背景，邓宇星证明了n维正里奇曲率且里奇曲率一致拼挤的扩散型凯勒里奇孤立子不存在。邓宇星带领团队创新性地把用里奇流研究丘成桐一致化猜测的方法应用到里奇孤立子的研究中，并且观察到相应技巧在更弱的曲率条件下仍然成立。这一结果证明了Bennett Chow、倪磊、吕鹏猜测在凯勒流形上成立，可用来进一步研究倪磊猜测。文章已于2015年发表在Mathematische Zeitschrift杂志上。
　　尽管博士毕业的时间并不长，但邓宇星的一系列成果已被国内外同行广泛关注，相关工作被菲尔兹奖得主Freedman、加州大学圣地亚哥分校Bennett Chow教授、明尼苏达大学Jiaping Wang教授等引用。邓宇星在加州大学圣地亚哥分校访问期间，有了更多机会和国际相关领域的著名数学家交流，而且幸运地见到了“里奇流之父”汉密尔顿，当面讨论了里奇流的一些问题。
　　
敢于挑战，无问西东
　　数学中有很多公开问题和猜想，这些问题被很多数学家研究过却长年没有进展。初学者面对这些问题容易心生畏惧而选择简单的问题。“读博期间，我也经常这样怀疑自己。”邓宇星回忆，读博最后两年，他的时间基本全部用来研读Brendle解决三维佩雷尔曼猜测的工作和佩雷尔曼解决三维庞加莱猜想的工作。尤其是庞加莱猜想，这个难倒了数学领域无数巨匠长达百年的难题。在佩雷尔曼2002年公布其论文时，没有一位数学家能完全看懂。后来世界各地几组顶尖数学家们花了整整4年时间，才能理解佩雷尔曼的证明，他们分别撰写了几百页的书或论文来解释佩雷尔曼的工作。
　　“为了理解佩雷尔曼解决三维庞加莱猜想的工作并推广他的技巧，我花了两年多的时间去学习。”几百页的论文又长又难懂，这两年多时间，邓宇星完全沉浸在论文的理解与学习中，没有任何产出，也没有发表任何论文，对于当时面临博士毕业的他而言，压力可想而知。 
　　有一段时间，他甚至想过放弃。最终，在导师朱小华教授的支持与鼓励下，他选择了坚持。当然，坚持的前提还是因为热爱。“如果没有兴趣，我肯定无法坚持下来。”邓宇星说道，“对于我感兴趣的东西，我愿意花很多精力去把它弄明白。尤其当你意识到某个结果很重要而且你又感觉自己能证明它的时候，这时候就有无穷的动力在推动着自己继续坚持。”
　　在近两年没有写出论文后，临近博士毕业的邓宇星终于得到了一个有意思的结果。但朱老师认为这个结果中的一个条件可以去掉，迟迟不愿意拿去发表。又过了半年多，已经开始从事博士后研究的邓宇星才终于去掉了这个条件。“即使压力重重，也不能降低对自己科研成果的要求。”邓宇星还强调，“想要做出好的数学，有时候就得偏执一些。”
　　山重水复疑无路，柳暗花明又一村——熬过了最艰难的阶段，邓宇星的研究终于迈入正轨。这几年来，邓宇星的科研成果便如雨后春笋般争先涌出：他先后解决了凯勒流形上的Bennett Chow-倪磊-吕鹏猜测，在曹怀东猜测研究中取得重要进展，改进了Brendle解决三维Perelman猜测的工作，去掉了Brendle高维孤立子分类的降维假设……从博士毕业以来，短短5年间，他先后主持了两项国家自然科学基金项目。2020年，他又获得了国家优秀青年科学基金。
　　稳扎稳打、踏实迈进，让邓宇星在科研道路上走得越发从容自信。回首投身数学研究的岁月，那些挑战难题的日子依然历历在目。如今回味，他不觉艰苦，沉淀下来的除了挑战难题的兴奋与成就感，还有对数学与日俱增的好奇与兴趣。
　　“数学里的猜想和公开问题都是很难的。把这些问题作为自己的研究方向会很有挑战。但研究生应该有勇气去挑战这些困难，而不是为了毕业去做一些简单的问题。”邓宇星表示，即使最终没有解决，但在挑战这些高峰的过程中一定会有所收获。“这样的训练多了，基础知识与科研水平自然可以提升。”
　　喜欢数学的人也许都难以摆脱“挑战难题”的通病，邓宇星同样如此。解决了一个问题之后又有下一个。11/8猜想、四维光滑庞加莱猜想、丘成桐一致化猜想……都是他未来的目标。对于邓宇星而言，向着数学高峰前行，挑战是一件永无止境的事。
　　
专家简介　　
　　邓宇星，1988年生，北京理工大学数学与统计学院教授。主持国家自然科学基金面上项目和青年项目，并于2020年获得国家优秀青年科学基金。他长期专注于里奇流，特别是里奇孤立子分类的研究。在国家自然科学基金的资助下，取得了一系列具有重要理论价值的原创性成果：证明了具有非负双全纯截面曲率的非塌缩稳态型凯勒里奇孤立子必然平坦；分类了具有线性衰减且具有正曲率的高维非塌缩稳态型里奇孤立子以及三维具有线性衰减的稳态型里奇孤立子；证明了凯勒情形下几何流专家Bennett.Chow、倪磊等人提出的具有里奇曲率拼脐的扩散型里奇孤立子不存在的猜测。相关结果已被J.Euro.Math.Soc.、Math.Ann.、Tran.Amer.Math.Soc.、IMRN、Math.Z.等著名数学杂志录用或发表。