——记中国矿业大学深部岩土力学与地下工程国家重点实验室研究员杨小军

祝传海

2022年5月，中国矿业大学迎来捷报：深部岩土力学与地下工程国家重点实验室研究员杨小军因在分形幂律流体和标度律混沌方面的猜想和特殊函数等领域的突出贡献荣获2022年度奥巴达（Obada）奖。而在此前，他还曾荣获2019年度奥巴达青年杰出研究人员奖。

奥巴达奖是由非洲科学院和自然科学出版集团组织和设立的一个国际奖项，旨在表彰在跨越传统界限与范式的创新和跨学科研究领域作出突出贡献的科研人员。这一奖项先后两次花落杨小军，是对他多年在相关领域里持续收获原始创新成果的致敬、肯定和鼓励。

“‘数学是打开科学大门的钥匙’‘宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。’而数学也像一个包含了各种谜题的王国，从广为人知的哥德巴赫猜想、魅力无穷的梅森素数到悬而未决的千禧难题……数学当中一些绝妙的难题总是像磁石般吸引着无数科学家前赴后继来研究和解答，唯有以怀疑和创新为原始驱动的力量，才能浇灌出打破知识边界的学术之花。”正是数学原始创新的魅力和作用，让杨小军板凳甘坐十年冷，收获了风雨后的阳光。

研以咏志

——解决“数学病态问题”

什么是分形幂律流体和特殊函数？相关数学研究又有怎样的作用和意义……对很多非专业人士来说，他们或许会有很多这样的疑问。

俗称“青宝塔”的罗马花椰菜，蕴含着当今世界最前沿的数学几何学原理之一：椰菜的每一小簇是整个花簇的其中一个分支，但通过一定比例放大后，却可以得到一个与整体几乎完全一致的花簇。这一原理就是——分形。概括地说，这是一种“自相似”的特质。

分形研究的是自然界的不规则现象，几乎无处不在，所以又被称为描述大自然的几何学。美国著名的物理学家惠勒曾说过这样一句话：“将来，谁不知道分形概念，就不能称为有知识。”分形又是数学上一类不可微的函数问题，由于微积分基本定理——牛顿-莱布尼茨导数不能解决这类问题，分形问题也被称为国际上的“数学病态问题”。从20世纪70年代至今，描述这类数学病态问题的物体运动变化率都是国际前沿难题。杨小军，正是用他多年的原创性研究突破了这一国际难题。

2016年，杨小军辞去从事了7年的电气工程师工作，攻读中国矿业大学的博士学位。他一脚跨入数学科研领域，把所有的精力放在了解决国际数学难题上。在谢和平院士和博士生导师高峰教授的带领下，杨小军在非线性数学领域进行了深入的研究。他围绕分形微积分学及其在力学方面的应用进行了多项原创性的研究，包括局部分数阶算子、局部分数阶积分变换等。2017年12月提前博士毕业后，他又开始对广义分数阶微积分学领域和特殊函数领域进行创新性研究，并得到了国内外专家的认可。2019年，他系统地研究了广义微积分学算子，独立完成了国际上首部系统研究广义分数阶微积分学算子理论专著《广义分数阶导数：理论、方法和应用》。次年，在毕业论文基础上，他所在的课题组整理出版了国际上首部广义微积分学理论在粘弹性理论方面的专著——《广义分数阶导数在粘弹性力学中的应用》。2022年，课题组把毕业论文的原创性成果整理后在斯普林格出版社作为一个章节发表了《非奇异核广义微积分学：在粘弹性力学的新观点》。

围绕牛顿-莱布尼茨导数不能处理的数学病态问题，在读博士期间，杨小军提出了不可微函数的局部分数阶导数和局部分数阶积分。

“在已有的数学模型中，分数阶微积分学能解决经典的带有连续性的幂律现象，但对于处处不连续的现象就无法解决了。所以，我们构造了一种新的微积分学，这就是局部分数微积分学。”为此，杨小军还出版了3部英文专著：《现代局部分数阶微积分学及其应用》、《局部分数泛函分析及其应用》和《局部分数阶积分变换及其应用》，系统性地分析了局部分数微积分学的原理和应用。对此，杨小军如是诠释：“相当于我们把几何的意义引到代数的意义上来，让这一难题能进行分析了，原来用几何学解决的问题，如今运用微积分学就能解决了。”

求线性局部分数阶常微分方程和偏微分方程的定解，也是应用科学中不可微函数的数学病态问题，目前国际上无方法可解，同样是当今国际前沿难题。对此，杨小军创新性地提出了关于局部分数阶导数的线性数学模型，如分形松弛模型和人口模型的分形速率方程。

为了解决这一问题，围绕广义希尔伯特空间上的完备正交基，杨小军的创新性研究建立了基于分形上的Mittag-Leffler函数上的局部分数阶Fourier型级数、局部分数阶Fourier型积分变换及其局部分数阶Laplace型积分变换，为求解这类不可微导数的数学模型提供了数学基础。这些成果杨小军与欧洲科学院院士哈里·莫汉·斯利瓦斯塔瓦（Hari Mohan Srivastava）教授和非洲科学院院士巴尔干杜米特鲁（Dumitru Baleanu）教授合作，已经在爱思唯尔以著作形式：《局部分数阶积分变换及其应用》（Local Fractional Integral Transforms and Their Applications）出版。

与此同时，围绕环境（如空气等因素）对流体干扰形成的粗糙和不光滑特征，杨小军还提出了相应的质量、动量及能量守恒定律，进一步建立了定义在Cantor集上的Navier-Stokes方程，进而获得了局部分数阶Korteweg-de Vries方程和局部分数阶Boussinesq方程。以不可微行波变换技术为手段，他得到了反常浅水波理论模型的精确行波解，进一步揭示了反常浅水波的机理与行为特征，进而推动其理论的发展，形成局部分数阶微积分学与力学之间跨学科结合研究之范例。以上成果，已经被爱思唯尔以著作形式：《分形矢量分形：一个局部分数阶微积分学观点》接受出版。

“我们都知道，在工程实践中，要描述一个桌子表面的粗糙度是相当复杂的一个问题，但这又是我们常常要面对的问题。再比如，一个球从楼梯上滚下来，与一个细菌从一个管道上滚下来，它们的运动是相似的。如果我们能够解决不可微函数的数学病态问题，在工程中，就可以用分形数学来描述与解决这样的难题。”在这一理念的指引下，杨小军提出的不可微函数的局部分数阶导数和局部分数阶积分，形成了一个新的微积分学分支，为不可微函数问题的分析奠定了数学理论基础，也为分形数学与物理（力学）之间的跨学科问题研究奠定了理论基础。

除此之外，近几年来，杨小军在欧拉工作的基础上对相关理论进行的广义扩展工作迎来了收获期。他对超几何函数进行了系统的研究，在爱思唯尔出版了英文独著《超越几何函数、超越三角函数和超越双曲函数》，成为国际上首部超越几何三角函数和超越几何双曲函数理论方面的专著，也是国内首部超越几何函数理论的著作。此外，他对和分数阶相关的特殊函数和原来的超越几何函数以及积分变换进行了系统的研究，研究成果汇集成一部900多页的著作——《对科学家和工程师的特殊函数理论及其应用》，在斯普林格出版，进一步提出了几类超越几何三角函数和超越几何双曲函数理论体系、特殊积分变换和级数，部分成果填补了国内外的空白，获得了国际同行的广泛认可和关注。特别值得关注的是，基于Kohlrausch-Williams-Watts函数，杨小军建立了特殊级数和特殊积分变换，为信号分析和数学物理问题提供了数学理论基础。

潜心研究

——“这是一个数学新分支”

事实上，完成局部分数微积分学这一创新研究时，杨小军和他的导师都没有意料到相关研究在国际上的影响力会这么大。

“后来我们才知道，许多国家的学者都在致力于这一领域的突破，韩国、泰国、哥伦比亚、土耳其、埃及、印度、马来西亚、美国、西班牙、意大利、南非……甚至还有利比亚和伊拉克的一些学者都在研究这一领域。”很多人提出，局部分数微积分学这一解决方案的提出，在国际上形成了一个新的微积分学分支，为不可微函数问题的分析奠定了数学理论基础，具有重要的科学意义。

杨小军认为，之所以能够在国际上引起极大的反响，是因为解决不可微问题的运动变化率，能进一步应用到工程领域中的不可微非线性科学问题，可以为自然科学中物理规律的建立奠定理论基础。“从这一意义上来说，这项研究的确具有重要的理论价值和科学意义。”

不仅如此，杨小军傅里叶型变换的研究作为积分变化的新分支也被美国密西西比大学官网收录，并给出评论：“杨小军创新性提出的关于局部分数阶导数的线性数学模型，是Fourier分析的新分支，具有重要的应用价值。”早在此前，德国《数学文摘》评论他相关领域的工作时就说：“这是一个数学的新分支。”

国际期刊《分形与分数》主编卡洛·卡塔尼（Carlo Cattani）教授（意大利）认为，杨小军把局部分数阶微积分学引入到泛函分析领域，进一步促进了局部分数阶微积分学的发展。

一花引来百花开，此后，相关学科领域迎来了研究热潮。国际期刊《分数微分及其应用》主编巴尔干杜米特鲁教授及合作者提出了局部分数阶同伦扰动sumud变换代数方法，并得到了定义在Cantor集合上的Klein-Gordon方程的不可微解，把局部分数阶微积分学引入到了物理学领域。胡安·J.涅托（Juan J..Nieto）教授（西班牙，2022年度奥巴达奖获奖者）和多本国际期刊的主编及著名学者先后加入局部分数阶微积分学及其应用的研究课题。

因在相关领域的卓越贡献，杨小军被邀请担任斯普林格、爱思唯尔、世界科学等出版机构的书稿评论员，之后还被邀请到清华大学等著名大学讲学，还应邀担任《分形》（中国科学院一区）的编委。

杨小军的研究成果——局部分数阶二维伯格斯型方程的精确行波解首次提出了局部分数阶Riccati型方程法，自2017年发表以来，被巴尔干杜米特鲁教授和刘发旺教授等分数阶微分方程领域的高被引科学家引用，《科学引文索引》期刊引用82次、他引79次。因在积分算子研究领域的贡献，他还被邀请担任新加坡分形杂志的编委。

至今，杨小军的研究成果已发表论文200余篇，被180多种《科学引文索引》期刊和来自58个国家和地区的科学家和学者引用，他引高达1670次，高被引论文20篇；以第一作者入选基本科学指标数据库高被引论文17篇和热点论文5篇；在斯普林格、爱思唯尔等出版社出版11篇章节；在斯普林格等出版英文著作7部；获得2016年度中国百篇最具影响国际学术论文1篇；连续入选爱思唯尔高被引学者榜单（2017、2018、2019、2020、2021）、全球高被引科学家（2019、2020、2021）、全球1000数学家（2021）和全球10万科学家。

数学大师丘成桐说过：“学术交流不仅是检验科学成果的舞台，更是启迪思维、掌握新知、纠正谬误的良好途径。”对此，杨小军深以为然。这些年他坚持活跃在国际舞台上，一方面在国际同行面前展现自己的科研成果；另一方面吸取各方经验，博采众长。海纳百川有容乃大，国际间的学术交流与碰撞，为他的科研之路注入了创新活水，也带来了丰收硕果。

2019年年初，鉴于杨小军在局部分数阶微积分学（分形微积分学）理论及相关领域的研究影响力，他被授予2019年国际奥巴达奖青年奖章，二三十个国家的学者纷纷向他表示祝贺。在此之后，鲜花和掌声接踵而至，当年7月，在土耳其伊斯坦布尔举行的计算机技术应用国际会议发布了青年科学家榜单，杨小军因在局部分数阶微积分学理论分析方面的贡献荣获这项奖励；同年，在印度举行的数学模型、应用分析和计算国际会议上，他荣获斯普林格和JECRC大学的杰出研究员奖；2020年，在土耳其举行的为纪念分数阶微积分学诞生325周年的首届现代分数阶微积分及其应用会议上，他因为在分数阶微积分学领域的贡献荣获阿贝尔奖（Abel Award）。2021年，他由于在热和流体力学数学研究方法方面的贡献，被塞尔维亚热科学工程学会授予阿塔纳西耶·斯托伊科维奇奖章（Atanasije Stojkovi. Medal）……问渠那得清如许？为有源头活水来。在不断交流和学习的过程中，杨小军也收获了成长和鼓励。

持之以恒

——要“坚守”和“创新”

从电气工程师岗位上离职短短几年，杨小军就成为解决国际难题的学术新锐。不可思议的跨越背后是他对数学研究深深的热爱和孜孜不倦的坚持。

2006年，杨小军从黑龙江科技大学机械设计制造及其自动化本科毕业后考入中国矿业大学，成为固体力学专业的一名硕士研究生；毕业后，他并没有继续在校内深造，而是去了上海工作。从2009年至2016年，他都在上海天逸电器有限公司机电部任工程师。

按照这一轨迹，杨小军应该与学术研究渐行渐远。让人意外的是，他竟从未放弃，并做出了惊人之举——在企业工作7年间，他拼命挤出空余时间不断精进自己，学习泛函分析、复分析……仅仅关于傅里叶型变换的研究方面的著作就看了不下30本。其间他潜心润花著果，共发表论文114篇之多，其中《科学引文索引》论文71篇，关于局部分数阶导数的线性数学模型，就是在这一时期做出来的。就这一理论，他还专门撰写了两部英文专著。

之所以有这样的举动，杨小军坦言得益于他对数学的爱好和遇上了伯乐。杨小军将自己对数学的爱，比喻成“就像养了一个十一二年的孩子，如果让我把它放下，我肯定会很寂寞的”，而兴趣就是他最大的动力和老师，指引他一路向前。他读硕士期间非常幸运地遇上了高峰教授。虽然所学非数学专业，但高老师很开明地根据当时的学科前沿和杨小军的兴趣特点，选择了当时还少有人问津的局部分数阶微积分理论及应用作为他的科研方向，没想到当时的留心之举成就了一个有特别爱好学生的学术生涯。

从2007年开始研究局部微积分学至今，杨小军在这条路上已坚持15年之久。他曾记得，有人对他说过，当你在一个领域坚持做10年、20年的时候，你才会成为本领域的专家。“如果能在这个领域继续坚持3个20年，我就觉得很开心了。”在自己喜欢的路上风雨兼程，哪怕再辛苦，他都甘之如饴。

获得奥巴达奖之后，杨小军坦言，这是一种认可，也是一种动力。近年来，许多国际期刊都邀请他担任主编、编委职务，“这也是对我长年坚持从事原创性研究的认可”。

虽然有很多机会，但博士毕业之后，杨小军选择留在中国矿业大学，加盟深部岩土力学与地下工程国家重点实验室担任研究员。很多人对他的选择感到不解，但杨军依然对当初的选择感到庆幸——“实验室对我的科研给予了很大的自由、宽容与支持，不以出身、方向论英雄，能让我静下心来坚持做独立的原创性的工作。”在这样的平台上，杨小军自由成长，被列入“学校紧缺的学术成果特别突出的优秀中青年人才”，成为学校“越崎学者”。如今，他有了自己的课题组，团队正在进行更多的原创性研究。对未来，杨小军有清晰的规划：继续解析数论方面的研究，黎曼猜想的工作也即将有著作要出版；在标度律流体方面的猜想也正好能跟千禧难题连接起来，这是他所在团队近期在国际领域崭露头角的工作，得到了很多国际同行的关注和鼓励；另外复分析理论方面，他们也有新的进展，提出了一类特殊函数的零点猜想、不等式猜想和双曲线猜想；在特殊函数领域方面，他的目标是特殊函数统一化表述理论。

在许多场合，杨小军都不吝啬表达自己是个幸运的人——得遇恩师，有支持自己的家人、朋友和学生。“当年，无论是我的父母、岳父母，都非常支持我从事这样的研究工作，我爱人还给我买了相关方面的书籍，让我非常感动。”如今在人才的培养上，杨小军也希望能给学生带去如春风化雨般的感受，全力支持他们在自己喜欢的领域中坚守和创新，“原始创新需要耐得住寂寞，努力在自己的研究领域持续创新，才能帮助国家实现创新”。循循善诱的话时常响在学生的耳畔。杨小军坚信，历史长河，大浪淘金，留下来的永远是值得留存的经典，而原始创新就是经典。他坚信，哪怕是对数学分支的一小点创新贡献，也可以为推动数学发展添砖加瓦，而他们所要做的，就是坚持自己认为对的事情，将点滴汇聚，期待有朝一日变成奔腾飞驰的江海之潮。

（责编：黄雪霜）