——记浙江大学特聘研究员刘东文
　　
本刊记者　杜月娇

　　　　
　　2010年8月19日，在印度海得拉巴市召开的第26届国际数学家大会上，越南数学家吴宝珠获得国际数学界大奖——菲尔茨奖。他“通过引入新的代数—几何学方法，证明了朗兰兹纲领自守形式中的基本引理”，该成果于2009年被美国《时代》周刊列为年度十大科学发现之一。
　　“朗兰兹纲领”“自守形”，同样的关键词，也出现在浙江大学特聘研究员刘东文的履历中。29岁的他，“研龄”不长，却折服于数论之魅力，做好了在自守形和表示论领域内“打持久战”的准备。
　　
享受“朗兰兹”的江湖
　　
　　2002年9月，15岁的刘东文走进中国科学技术大学少年班。“我是安徽人，离中国科学技术大学比较近，恰好我当时也符合少年班的报考条件，就试了一下。”在记者的好奇里，刘东文并没有讲述一个神童的成长故事，只是轻描淡写地说了几句。按照少年班的规矩，刘东文在学习了一年的基础课之后，选择了基础数学方向。
　　“我更喜欢理论一点的东西。”他说，转而又给记者分析起自己的研究方向。“表示论是一个很宽的理解方向，分支很多。一般来说，表示论其实是通过研究一个对象在另一个空间上的作用来研究对象本身。”这种借力打力的方式，让刘东文觉得趣味盎然。而自守形则是其中的核心方向，“对每一个素数，比如3，你可以考虑三进制数或者五进制数等。也就是说，对每一个素数，都可以考虑这个素数上对应的李群，以及它的表示。当你把所有素数的表示放在一起，最直接的意义就是可以去考虑这些表示的整体性质，给出一个自守表示，得到一个L函数。我们的目的就是用表示论的方法去研究L函数的性质。”
　　现在的刘东文，可以清晰直观地去分析，但当年的他却只能一步步摸索。2006年6月，刘东文本科毕业，两个月后，他前往香港科技大学继续在基础数学方面深造，师从朱永昌教授。“我真正的数学训练其实就是在香港科技大学攻读博士学位那几年开始的，在朱老师身上学到了很多东西，让我懂得判别什么样的数学是好的。”在朱永昌教授的建议下，刘东文选择了无穷维李群。他在博士论文中研究了一般数域上loop群的拓扑和代数结构，诱导了cuspidal Eisenstein级数，在Godemen条件下证明了常数项的绝对收敛，从而证明了级数本身的几乎处处收敛性。他们还计算并讨论了常数项和傅里叶系数。“一直以来，大家做的都是有限维李群方向，无穷维李群方向的研究人群很少，是属于比较新的进展。”
　　众所周知，Eisenstein级数在自守形理论中起到非常重要的作用。它不仅决定了自守形空间的连续谱，而且还通过取留数可以给出离散谱中所有的非cuspidal表示。另一方面，著名的Langlands-Shahidi方法对Langlands functoriality和拉马努金猜想都有重要的应用，然而却只能够解决有限的几种情况。为了得到更广泛的结果，Garland首先提出把Eisenstein级数的理论推广到无穷维Kac-Moody群上，并对affine Kac-Moody群，也就是所谓loop群在有理数域的情况奠定了基础。基于Garland的这个想法，近年来关于loop群上的Eisenstein级数理论取得了很多进展，并且在表述论和数论领域吸引了越来越多的注意。为了将来在数论上的应用，首先需要建立严谨的理论基础，那么第一个步骤则是研究loop群上的测度理论和Eisenstein级数的解析性质。在这种背景之下，刘东文在博士期间去挖掘loop群上Eisenstein级数的常数项和傅里叶系数具有非常重要的意义。如果考虑从Borel子群诱导出的Eisenstein级数，那么其常数项由所谓的affine Gindikin-Karpelevich公式给出。在有限维的情况下，Gindikin-Karpelevich公式就是Langlands-Shahidi方法的起点。
　　“这里面，我们所关心的朗兰兹纲领，从某种意义上说，是一种大一统理论。会把分析、数论、几何等数学里不同的分支统一起来，去揭示数学里面一种很普遍的现象，甚至把一些看起来不相关的东西和算术联系到一起。在有限维的群上，对于Langlands-Shahidi方法，我们能用的例子几乎都用完了，很难再得到新的结果，所以考虑无穷维的群也是大势所趋，因为可以有更多的对象可以利用，就会出现一些新的可能性。”刘东文的“可能性”，是回归到解析性质的研究，进一步对级数本身的绝对收敛证明做出更加细致的分析。借鉴朗兰兹纲领的技巧，他实现了对常数项和级数本身的比较，最终在一些条件下对一般数域的情况证明了Eisenstein级数的绝对收敛，并且猜测这些条件可以被放宽。这些结果将发表在Transactions of the AMS上。
　　这只是一个开始，随着研究的进展，刘东文在和L.Carbone,H.Garland,D.Gourevich,K-H.Lee,S.Miller等人的合作中，把Eisenstein级数理论推广到了更一般的Kac-Moody群上。“ 我们在Godemen条件下证明了常数项在Tits cone上是绝对收敛的，并写出了Gindikin-Karpelevich公式。特别地，对于秩为2的双曲Kac-Moody群，我们得到了Eisenstein级数本身的收敛性，并证明了cuspidal Eisenstein级数是一个整函数。而对于一般的情形，我们收敛性的问题归结到关于Kac-Moody代数和秩为3的Frenkel-Feingold代数。另外，我们对有限域上秩为2的Kac-Moody群的Eisenstein级数也做了一些有趣的工作。”他习惯用“有趣”来形容这些在槛外人看来异常艰深的研究，并继续用朗兰兹纲领举例，“著名的费马大定理就用到了自守形表示，朗兰兹纲领在其中起到了非常重要的作用。”他认为，这种作用极有创见性，需要去了解很多东西，当不同的分支交叉起来，“你会看到不同的领域是怎样被统一的”，他很享受这种过程。
　　能够应用到“朗兰兹纲领”的理论非常多，它们围绕着自守形，形成了一个独特的“江湖”。刘东文一直在其中探索新的应用，在与Y.Zhu的合作中，他们在更自然的条件下证明了loop辛群上theta函数的绝对收敛，并讨论了它的模性质。这项工作发表在Journal of Algebra。受到这一工作的启发，他们观察到一些punctured算术曲面上的向量丛的同构类可以用loop群的算术商来刻画，而定义在这些算术商上的theta函数可以理解为无穷维torus上的线丛的截面，从几何的观点给出了loop theta函数的解释，发表在Mathematical Research Letters。而在对loop群结构的研究中，他们分类了典型loop群的共轭类，并发表在Proceedings of the AMS上。
　　
从算术曲面上寻求突破
　　
　　上世纪50年代，著名的Tate's thesis中，J.Tate用局部紧群的调和分析理论和adele的语言来研究Hecke L函数的性质，证明了它的解析延拓和函数方程。这一经典工作可以视为现代自守形理论的基础。而作为局部紧群调和分析理论的另一个代表性的应用，A.Weil引入了Weil指标和Weil表示，给出了二次互反律的解析证明。这些工作对现代表示论的发展产生了无法估量的深远影响。从数论和算术的观点来看，经典调和分析理论为整体域，也就是算术曲线的函数域的研究提供了有力的工具。
　　“我们的想法是希望用解析的方法来研究更高维的算术对象，在二维的情形，也就是算术曲面。”提到这个想法，又要说到Y.Zhu了。依然是与之合作，刘东文将调和分析推广到非局部紧致交换群，乃至比局部紧致交换群更高一层的范畴上。“类似于它的Ind-Pro范畴，我们把这个范畴叫做LCA（2）。LCA（2）里的对象非常丰富，比如它包含所有的二维局部域。”刘东文介绍。他们将这些对象引入了测度理论和Bruhat-Schwartz函数空间，从而可以进一步定义傅里叶变换。他们也推广了Weil指标的概念，得到了曲面上的一些二次互反律。“我们猜想，另一个潜在的应用可能会给出算术曲面某种形式的Riemann-Roch定理。”在计划书里，刘东文认真写道。
　　对于一位数学研究者来说，方法是十分重要的，尤其是这种需要代入多个数学分支的研究。刘东文通过代数的方法，利用Milnor K理论和Kato余数同态等工具，在算术曲面上推广了tame符号，并证明了这些局部定义在K群上的符号满足若干互反律。在混合特征的情形下，给出了Kato余数同态的具体公式，还发现了它和Contou-Carrere符号的密切联系，发表在Advances in Mathemtics上。
　　这些都是对无穷维代数群上自守形的研究，但刘东文并非只抱定无穷维，相反，他对传统的有限维代数群自守形理论也有所涉猎。对于同样大小的dual pair酉群来说，从Rallis内积公式得到的zeta积分给出一些自守L函数的中心值，可以进而对志村簇等一些算术对象提供有用的信息。刘东文的一项进展，就是计算了实李群U（2,1）上的某种zeta积分。在计算过程中，他们一方面用joint harmonics来得到Weil表示的矩阵系数，另一方面用Schmid算子、Riemann微分方程和超几何级数等工具来得到离散级数表示的矩阵系数。其中的公式由离散级数表示的Harish-Chandra参数给出。这是在现有文献中所没有出现过的新结果。
　　做起来会觉得枯燥吗？当记者在他的讲解中忍不住有此一问时，刘东文老老实实地回答：“主要问题不是枯燥，是压力比较大。”即使研龄不长，他也已经深刻体会到，要做好一项理论研究，需要花费很多时间和精力去做准备，越是难的问题就需要越多的准备，而且还不一定能够做出结果。“我们要在发表文章的数量和质量之间做选择，真正做好需要对数学保持比较好的品位，不能为了发表文章就灌水。当然，也不能从一开始就贸然去做一些特别大的问题，这也不现实。确定了自己认为比较重要的方向之后，我们就需要一步步去积累。再庞大的理论系统，都是从一个个细节积累出来的。我要一边学习，一边做力所能及的问题，打好基础。然后在适当的时候去尝试深入的研究。”
　　对他来说，这一领域本来就处于起步阶段，尽管做出了一些很有意义的成果，并得到越来越多国内外同行的关注，依然有很多的新的问题需要解决。而那广阔的未知，将是他未来的发展空间。
　　
挖掘潜力股
　　
　　2011年6月，获得香港科技大学基础数学博士学位后，刘东文入聘厦门大学助理教授职位。一年后，远赴美国康涅狄格大学从事博士后研究，直到2015年9月回国至浙江大学任职。“现在国内的工作环境越来越好，对科研项目的支持力度很大，回来是一个挺好的选择。而选择浙大，还有一个个人原因。”刘东文补了一句，“我太太是杭州人”。
　　新的学年开始，刘东文也在浙江大学基本科研业务费专项资金项目的支持下，开展起“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”研究。
　　Siegel-Weil公式在上个世纪首先由Siegel和Weil给出，并在后续的工作中被很多表示论和数论的专家推广到更一般的形式，其中代表性的工作由S.Kudla，S.Rallis, A.Ichino, W.T.Gan，S.Takeda，Y.Qiu，S.Yamana等人给出。loop群的情况目前唯一的结果则由H.Garland和Y.Zhu给出。而他们，正是刘东文的重要合作者。事实上，刘东文此前的工作，也为该项研究提供了必要的工作基础，而H.Garland和Y.Zhu也在工作中引用了他们的结果。
　　“我们首先希望把loop Siegel-Weil公式推广到isotropic正交群的情形。这种情况下，对theta积分的收敛性问题，我们的主要解决方案是分别研究isotropic和anisotropic的部分，利用仿射李代数和李群的结构来计算正交loop群上的轨道积分。我们打算应用A.Weil的方法以及Garland-Zhu的推广来比较loop Eisenstein级数和loop theta积分，得到它们的求和项的对应关系，从而证明Siegel-Weil公式。”采访中，刘东文提到了“theta对应和theta提升”问题，希望从局部和整体两个层面上进行研究，这些都基于A.Braverman和D.Kazhdan所研究的p进制loop群的spherical Hecke代数和Satake同构。
　　从局部来说，刘东文要考虑的是p进制域上的一对loop辛群和loop正交群。它们的spherical Hecke代数作用在Weil表示的Schwartz函数空间上并且互相交换。通过theta对应，他们将构造这两个群的Hecke代数之间的同态，并讨论其与Satake同构的联系。在有限维的情形下，这个同态在regularized Siegel-Weil公式的证明里起到重要的作用。刘东文要做的是将其推广到loop Siegel-Weil公式中。
　　整体情况时，他要借助的就是从有限维正交群上的尖形式到loop辛群的theta提升了。在经典的情形下，尖自守表示通过一个Witt tower的theta提升在首次出现的时候总是不可约表示。“在loop情形，我们将考虑由有限维首次出现所给出的loop群。”如果通过计算常数项证明出这一点，那么将成为loop群上第一个尖形式的例子，从而对loop自守形式的研究具有非常重要的意义。
　　“本项目的预期目标包括在国际刊物上发表高水平的SCI学术论文4?5篇，拓展并完善表示论专业的研究团队和研究方向，培养表示论方向3?5名优秀的博士生与硕士生，提高项目负责人的学术水平，并为申请国家自然科学基金项目提供有力的支持。”项目书上的每一个字都是刘东文对未来的期许和承诺。他一直都清楚自己所做的是非常有潜力的工作。然而，也正是因为如此，才需要面对更大的挑战。为此，他长期与无限维李群、传统自守形这两个领域的专家都保持着合作与交流，香港科技大学朱永昌（博士导师）、康涅狄格大学Kyu-Hwan Lee（博士后导师）、耶鲁大学Howard Garland、罗格斯大学Lisa Carbone,Steve Miller、纽约州立大学阿尔巴尼分校Cristian Lenart等，都是他的合作者。当一切在浙江大学重新开始时，他也期望能够将这种合作精神发扬光大。“希望能够在回国3年内定期邀请国际专家到浙江大学进行交流访问，通过与同行互访并进行学术报告的方式来进行学术研讨，互相了解领域内的进展。条件成熟的情况下希望能够下组织适当规模的国际学术会议，邀请更多的学者共同交流，促进学科的发展。”当然了，路要一步一步走，全新的2016年，刘东文回国后的事业也将全面展开。他已经有了招收研究生的计划，正如他一直所强调的，一个新的学科方向，需要很多人去共同努力，才能有长足发展。
　　“从博士毕业到现在，我一直在打基础，花很长的时间去寻找值得做的问题。这个找问题的过程对我来说很长很长，虽然也发表了一些文章，但是我觉得水平还没有到。接下来至少要奋斗10到15年，真正投入到更重要、更有价值的研究中去。”刘东文一语定出了自己未来的基调。
　　
　　
专家简介：
　　刘东文，浙江大学特聘研究员。1987年1月生，安徽人。2002.09～2006.06，中国科学技术大学本科；2006.08～2011.06，香港科技大学博士；2011.08～2012.07，厦门大学助理教授；2012.0～2015.08，康涅狄格大学博士后。2015年9月就聘于浙江大学。主要研究方向是针对抽象调和分析、自守形和表示论做出了若干推广。兼任美国数学会《数学评论》评论员、德国《数学文摘》评论员。2010年以来发表论文7篇，多次参加国家学术会议，并受邀在韩国高等研究院、日本九州大学、康涅狄格大学、耶鲁大学、厦门大学、香港科技大学等地进行学术报告。回国后承担项目：国家自然科学基金青年科学基金项目“高维adele和算术曲面”（2013～2015）；浙江大学基本科研业务费专项资金项目“Loop Siegel-Weil公式和theta提升”（2016.1～2017.12）。